Üçgende Açı – Açıortay – Kenarortay

üçgende açıÜçgende açı konusuna geçmeden önce Kpss geometri konusu içinde sık sık karşılaşacağımız üçgen terimini inceleyelim. Üçgen doğrusal olmayan farklı üç tane noktayı birleştiren doğru parçalarının birleşimine denir.

ABC:[AB] \cup [AC] \cup [BC]  ABC üçgeni bu şekilde tanımlanmaktadır.

Üçgende Açı

Bir üçgende iç açıların toplamı 180° dir. Dış açıların toplamı ise 360° dir.

Üçgende açı konusunda dikkat etmemiz gereken ve forumulize edilmiş birkaç önemli nokta vardır. Şimdi üçgende açı konusunda yer alan bu detayları teker teker inceleyelim.

dış açı - iç açı* Bir üçgende bir dış açının ölçüsü kendisine komşu olmayan iki iç açının ölçüleri toplamına eşittir.

x+y+z=180°

a+b+c=360°

a=y+z

b=x+z

c=x+y

iç açıortay formül* Bir ABC üçgeninde [BD] ve [CD] iç açıortay, D iç nokta ise;

x = {90^{^ \circ }} + \frac{{m(\hat A)}}{2}

 

 

dış açıortay* Üçgende açı konusunda bir ABC üçgeninde [BF] ve [CF] dış açıortay ise;

x = {90^{^ \circ }} - \frac{{m(\hat A)}}{2}

 

 

 

üçgende yükseklik

 * Bir üçgende şekildeki gibi [AH] yükseklik ise ve [AE] BAC açısının açıortayı ise;

x = \frac{{\left| {m(\hat B) - \left. {m(\hat C)} \right|} \right.}}{2}

 

dış açıortay  * Bir ABC üçgeninde [BP] iç açıortay, [PC] dış ortay ise;

x = \frac{{m(\hat A)}}{2}

 

 

konkav açı

* Üçgende açı konusunda yandaki şekil gibi konkav bir üçgen çıktığında açı formulü şu şekilde olmaktadır;

x = a + b + c

 

 

Kpss genel yetenek ve kpss geometri konuları dahilinde üçgende açı ile ilgili önemli noktalar yukarıda verilmiştir. Şimdi açıortay konusunu inceleyelim.

Açıortay

açı ortay Bir üçgende açı kollarına uzaklıkları eşit olan noktaların geometrik yerine açıortay denir. Kpss geometri konuları içerisinde açıortaydan çok fazla soru sormamaktadır. Ancak bu, konuyu bilmememiz gerektiği anlamına gelmez. Çünkü her sene değişik yerden soru sormakta olan Kpss lisans sınavı ters köşe etmeyi çok sevmektedir. Bu yüzden dikkat ederek açıortay konusuna devam edelim.

 

üçgen içteğet * Bir üçgende iç açıortaylar bir noktada kesişirlerse , bu nokta üçgenin iç teğet çember merkezini oluşturur ve genelde I ile gösterilmektedir.

 

 

dış açı * Bir üçgende iki dış açıortay ile üçüncü iç açıortay bir noktada kesişmektedir.

 

 

 

 

 

iç açıortay* İç Açıortay Teoremi: [AN] açıortay doğrusu olmak üzere; \frac{{\left| {NB} \right|}}{{\left| {NC} \right|}} = \frac{{\left| {AB} \right|}}{{\left| {AC} \right|}}

 

 

dış açı ortay teoremi* Dış Açıortay Teoremi: [AN] dış açıortay doğrusu olmak üzere; \frac{{\left| {CN} \right|}}{{\left| {AC} \right|}} = \frac{{\left| {BN} \right|}}{{\left| {AB} \right|}}

 

 

iç açıortay uzunluk teoremi* İç Açıortay Uzunluğu: [AN] iç açıortay doğrusu olmak üzere;

{\left| {AN} \right|^2} = \left| {AB} \right|.\left| {AC} \right| - \left| {BN} \right|.\left| {NC} \right|

 

 

 

* Dış Açıortay Uzunluğu: [AN] dış açıortay doğrusu olmak üzere; dış açı ortay uzunluğu

{\left| {AN} \right|^2} = \left| {NC} \right|.\left| {NB} \right| - \left| {AC} \right|.\left| {AB} \right|

 

 

 

iç dış açıortay* İç Açıortay ve Dış Açıortay Birlikte: [AN] iç açıortay doğrusu, [AK] dış açıortay doğrusu olmak üzere;

\left[ {AN} \right] \bot \left[ {AK} \right]

\frac{{\left| {KC} \right|}}{{\left| {KB} \right|}} = \frac{{\left| {CN} \right|}}{{\left| {NB} \right|}}

Kenarortay

kenarortay* Bir üçgenin kenarortayları tek bir noktada kesişirse bu noktaya ağırlık merkezi denir ve G ile gösterilir. Kenarortaylar birbirlerini kenarlarına doğru 1, köşeye doğru 2 oranında bölmektedirler.

 

 

kenarortay* Kenarortay Teoremi: [AD] uzunluğu kenar ortay olmak üzere;

2V_a^2 = {b^2} + {c^2} - \frac{{{a^2}}}{2}

2V_b^2 = {a^2} + {c^2} - \frac{{{b^2}}}{2}

2V_c^2 = {a^2} + {b^2} - \frac{{{c^2}}}{2} formülleri oluşmaktadır. Bu formüllerden şu sonuç çıkmaktadır: {a^2} + {b^2} + {c^2} = \frac{4}{3}\left( {V_a^2 + V_b^2 + V_c^2} \right)

kenarortay merkezi* Bir ABC üçgeninde G ağırlık merkezi ve [AD] uzunluğu kenarortay olmak üzere;

\left| {KG} \right| = \frac{{\left| {AD} \right|}}{6}

 

 

kenarortay ve dik üçgen* Bir ABC üçgeninde G ağırlık merkezi ve A açısı 90 derece olmak üzere;

V_b^2 + V_c^2 = 5V_a^2

V_b^2 + V_c^2 = \frac{5}{4}{a^2}

 

kenar ortay dik ağırlık merkezi* Bir ABC üçgeninde G ağırlık merkezi ve G açısı 90 derece olmak üzere;

V_b^2 + V_c^2 = V_a^2

{b^2} + {c^2} = 5{a^2}

 

Üçgende Kesenler

1) Menelaus Teoremi:

\frac{{\left| {AF} \right|}}{{\left| {FB} \right|}}.\frac{{\left| {BD} \right|}}{{\left| {DC} \right|}}.\frac{{\left| {CE} \right|}}{{\left| {EA} \right|}} = 1

menalaus

2) Seva Teoremi:

\frac{{\left| {AF} \right|}}{{\left| {FB} \right|}}.\frac{{\left| {BD} \right|}}{{\left| {DC} \right|}}.\frac{{\left| {CE} \right|}}{{\left| {EA} \right|}} = 1

Seva

3) Stewart Teoremi:

{x^2} = \frac{{{b^2}m + {c^2}n}}{{m + n}} - m.n

stevart

4) Carnot Teoremi:

{x^2} + {y^2} + {z^2} = {m^2} + {n^2} + {t^2}

karnot

 

 

 

, , , , , , , ,

One Response to Üçgende Açı – Açıortay – Kenarortay

  1. seher gökdemir 21 Kasım 2013 at 10:31 #

    sınavın büyük bi bölümünü üçgenler oluşturmakta. yüzden bu konuyu yapmakan başka bi çarem yokkk:(((

Bir Cevap Yazın