Yamuk | Yamuğun Alanı – İkizkenar Yamuk – Dik Yamuk

Yamuk, yamuğun alanı ve çevresi, ikizkenar yamuk ve dik yamuk gibi geometri dersine ait konulardan ÖSYM KPSS içerisinde çok fazla soru sormamaktadır. Genel olarak zaten geometri dersinin tüm konularından 3-4 soru çıktığını da biliyoruz. Geometri konularından hangi başlıktan soru çıkacağını tahmin etmemiz pek mümkün değil. Bu yüzden yamuk ve ilgili alt başlıklarını da bilmemiz gerekmektedir.

Yamuk

[AB] // [CD]

Yamuk, karşılıklı iki kenarı paralel olan dörtgendir. Şekilde de görüldüğü üzere bu yamuğun AB kenarı CD kenarına paralel. AB kenarı alt taban, CD kenarı da üst taban olarak geçmektedir. Dolayısıyla iki kenarı paralel olan bir dörtgen gördüğümüz zaman yamuk ve yamuğa ait formülleri aklımıza getirebiliriz.

Yamukta Orta Taban

Yamuk ve orta taban bağıntıları ile ilgili karşımıza 3 tane formül çıkmaktadır. Bu formülleri, orta taban etkili olduğunda problemlerde kullanabiliriz. Orta taban ile ilgili formülleri sıralamadan önce tanımını yapalım.

Yamukta yan kenarların orta noktalarını birleştirecek şekilde ortaya çıkan doğru parçasına orta taban denir.

Yamuk ve Orta Taban ile ilgili 3 farklı problem ve çözüm şekline dair formüller aşağıda listelenmiştir.

1.
$\displaystyle m\widehat{{(A)}}+m\widehat{{(D)}}=m\widehat{{(B)}}+m\widehat{{(C)}}={{180}^{\circ }}$

Burada belirtilen, bir yamukta paralel iki tabanın karşılıklı açılarının toplamı birbirine eşittir.

Karşılıklı açıların toplamı aynı zamanda 180’e eşittir.

2.
 [EF] orta taban olmak üzere;

• $\displaystyle \left| {EF} \right|=\frac{{a+c}}{2}$

• $\displaystyle \left| {KL} \right|=\frac{{a-c}}{2}$

Birinci formülde, paralel iki tabanın toplamının yarısı orta tabana eşittir deniliyor. İkinci formülde ise paralel iki tabanın farkının yarısının, köşegenlerin kestiği orta taban aralığına eşit olduğundan bahsediliyor.

3.

$\displaystyle O\in [MN]$ olmak üzere;

[AB] // [MN] // [CD]

$\displaystyle \left| {MN} \right|=\frac{{2ac}}{{a+c}}$

Buradaki formülde, köşegenlerin tek noktadan kestiği ortadaki tabanın uzunluğunun, alt ve üst tabanın çarpımının 2 katının, alt ve üst tabanın toplamlarının oranına eşit olduğundan bahsetmektedir. Aynı zamanda |MO| uzunluğu |ON| uzunluğuna eşittir.

Yamuğun Alanı – Yamukta Alan Bağıntıları

KPSS geometri konularından olan yamukta alan bağıntılarını genel bir alan formülü ve 2 farklı şekilde karşımıza çıkan alan formülleriyle inceleyeceğiz. İlk olarak yamuğun alanı ile ilgili genel formüle bakalım.

|DC|=c ve |AB|=a olmak üzere;

$\displaystyle Alan(ABCD)=\left( {\frac{{a+c}}{2}} \right).h$

Bir yamuğun alanı, alt ve üst taban uzunluklarının toplamının yarısı ile bu tabanlara dik çizilen doğru uzunluğunun (yamuğun yüksekliğinin) çarpımına eşittir.

Şimdi de yamuğun alanına dair diğer 2 formülü inceleyelim:

1.
E, |AD| uzunluğunun orta noktası,

$\displaystyle [EK]\bot [BC]$ olmak üzere,

$\displaystyle A(ABCD)=2A(C\overset{\vartriangle }{\mathop{E}}\,B)$

$\displaystyle =\not{2}.\frac{{|BC|.|EK|}}{{\not{2}}}=|BC|.|EK|$

Yamuğun bir kenarının orta noktasından diğer kenara dik olarak çıkan doğru, bu orta noktadan köşegenlere ulaşarak çizilen üçgenin yüksekliğini oluşturmaktadır. Dolayısıyla bu üçgenin alanının 2 katı ABCD yamuğunun alanına eşittir. Tüm bu şartlar ortaya çıktığında ABCD’nin alanı, kenar ve bu kenara çizilen dikin uzunluklarının çarpımına eşittir deriz.

2.
x, y, z ve k bulundukları üçgenleri alanları dersek;

$\displaystyle x=y=\sqrt{{z.k}}$

Yamukta, yandaki şekilde köşegenleri çizilmiş bir şekil görürsek, karşılıklı sağ ve sol üçgen alanlar birbirine eşittir ve bunlar alt ve üstteki üçgen alanların çarpımının kareköküne eşittir deriz.

İkizkenar Yamuk

İkizkenar yamuk, yan kenarları birbirine eşit olan yamuktur.

İkizkenar yamukla ilgili de karşımıza 4 tane özellik çıkmaktadır. Bu özellikler ve bunlara ait formülleri bilirsek ikizkenar yamuk ile ilgili çıkan problemleri rahatlıkla çözebiliriz.

İkizkenar Yamuğun Özellikleri

1.

$\displaystyle m(\widehat{A})=m(\widehat{B})=y$

$\displaystyle m(\widehat{C})=m(\widehat{D})=x$

$\displaystyle x+y={{180}^{\circ }}$

İkizkenar yamukta tabanların açıları birbirine eşittir. Karşılıklı taban açılarının toplamı da birbirine eşittir. Bunun temel sebebi de yamuğun özelliklerinden kaynaklanan iki tabanın birbirine paralel olmasıdır.

2.
|AC|=|BD|

|AO|=|BO|

|CO|=|DO|

İkizkenar bir yamukta köşegen uzunlukları birbirine eşittir. Aynı zamanda köşegenlerin kestiği noktadan köşelere giden doğrular da birbirine eşittir.

3.

$\displaystyle |AK|=|BL|=\frac{{a-c}}{2}$

İkizkenar yamukta üst tabandan inen diklerin oluşturduğu alt ve üst taban uzunlukları birbirine eşittir. Aynı zamanda alt tabandan arta kalan iki parça da birbirine eşittir ve bu parçalar yamuğun alt taban uzunluğunun üst tabandan farkının yarısı olarak formülize edilir.

4.

$\displaystyle h=\frac{{a+c}}{2}$

İkizkenar yamukta köşegenler birbirini dik kesmişse, alt tabana indirilen dik uzunluk, alt taban ve üst taban uzunluklarının toplamının yarısına eşittir.

Dik Yamuk

Geometri dersindeki yamuk konularından son başlık olan dik yamuk, yamuğun yan kenarlarından birinin tabanlara dik olmasıyla oluşur.

|BH|=a-c

Dikin inmesiyle bölünen alt tabandan üst tabanı çıkardığımızda, yeni oluşan üçgenin taban uzunluğuna erişebiliriz.

$\displaystyle {{h}^{2}}=a.c$

Dik yamukta çizilen köşegenlerin arası 90 derece ise, yani köşegenler birbirini dik kesmişse, bu dik yamuğun yüksekliğinin karesi, yamuğun alt ve üst tabanlarının çarpımına eşittir.

Kpss geometri dersinde yer alan yamuk , yamuğun alanı ve alan bağıntıları, ikizkenar yamuk ve dik yamuk başlıkları tamamlanmıştır. Bir sonraki geometri konumuz Deltoid olacaktır.