Köklü Sayılar (Köklü İfadeler), Ortaokulda okuyan arkadaşlarımızın da işlediği ve KPSS’ye hazırlananların daha önceden duyduğu ifadeyle kareköklü sayılar, hemen hemen her yıl soru olarak karşımıza çıkmaktadır. Zorluk dereceleri değişkenlik gösterse de muhakkak en azından bir soru ile karşılaşmaktayız.
Özellikle sözelci arkadaşlarımız bu konuyu direkt es geçmektedir.
Köklü sayıların göze hoş gelmemesinden midir, üstünde değişik şapkalı bir sayı gördüklerinde bunu yadırgamaları mıdır bilinmez.
Ancak kesinlikle bu ön yargının yıkılması ve köklü sayılar konusunun geçilmez bir duvar olarak algılanmaması gerekiyor. Bir önceki Matematik dersinde Üslü Sayılar konusunu işlemiştik. Şimdi Köklü Sayılar konusuna göz atalım.
Köklü Sayılar (Köklü İfadeler) | Kareköklü Sayılar
Köklü Sayılar nasıl oluşur? Bir tanımla anlatalım bunu:
n, 1’den büyük pozitif bir tam sayı olmak üzere, $\displaystyle {{a}^{n}}=x$ denklemini sağlayan a sayısına x’in ‘n’ dereceden kökü denir ve bu da $\displaystyle a=\sqrt[n]{x}$ şeklinde gösterilir.
Bu tanımdan sonra dikkat etmemiz gereken 2 nokta var. Bunlar:
- Köklü bir ifadede kökün derecesi yazmıyorsa 2 olarak kabul edilir.
- $\displaystyle \sqrt[x]{0}=0$ Yani kök içindeki sıfır, derecesi ne olursa olsun, dışarı hep 0 olarak çıkar.
Şimdi bu tanımlardan sonra 11 başlık altında köklü sayıların nasıl karşımıza çıktığına bakalım.
Köklü Sayılarda Tanımlılık
Az önce tanım yapmadık mı? Bu ne peki? Şöyle ki, bu bir tanım değil. Burada ‘Bir köklü ifadenin köklü sayı olarak tanımlanabilmesi için hangi şartlar gerekir?’ sorusunun cevabını vereceğiz.
$\displaystyle a=\sqrt[n]{x}$ diye karşımıza çıkan bir köklü ifadenin tanımlı olabilmesi için, diğer bir deyişle reel yani gerçek bir sayı belirtmesi için şu şartlar gerekir;
a) Kök derecesi çift ise kök içindeki sayı 0’dan büyük ya da sıfıra eşit olmalıdır.
Bu şart matematik dilinde şöyle tanımlanır:
n çift iken x<0 ise $\displaystyle \sqrt[n]{x}$ ifadesi tanımsızdır.
Örnekler
Örnek Sorular
Örnek Sorular
Örnek Sorular
Örnek Sorular
b) Kök derecesi tek ise kök içi aklınıza gelebilecek her değeri alabilir. Negatif, pozitif farketmez.
Örnekler
Örnek Sorular
Örnek Sorular
Örnek Sorular
Kök İçindeki Sayıyı Kök Dışına Çıkarma
Kök içindeki bir sayının kök dışına çıkması şu şekilde gerçekleşir:
$\displaystyle \sqrt[4]{{16}}=\sqrt[4]{{{{2}^{4}}}}\Rightarrow \sqrt[{\not{4}}]{{{{2}^{{\not{4}}}}}}=2$
Şimdi burada 16 nasıl oldu da $\displaystyle {{2}^{4}}$ haline geldi diyorsanız demek ki üslü sayılar konusunu tam olarak anlayamamışsınız. Lütfen üslü sayılar konusunu tam olarak anlamadan köklü sayılar konusuna dönmeyin. Çünkü bundan sonra bu ifadeler karşınıza sık sık çıkacak.
$\displaystyle \sqrt[3]{{125}}=\sqrt[3]{{{{5}^{3}}}}\Rightarrow \sqrt[{\not{3}}]{{{{5}^{{\frac{3}{3}}}}}}=5$
$\displaystyle \sqrt[8]{{{{x}^{{56}}}}}={{x}^{{\frac{{56}}{8}}}}={{x}^{7}}$
$\displaystyle \sqrt[9]{{{{y}^{{38}}}}}={{y}^{{\frac{{38}}{9}}}}$
Köklü Sayılarda Sadeleştirme – Genişletme
a) Sadeleştirme: Kök derecesi ve kök içindeki sayının derecesine bakılır. Bunları, problem içinde ihtiyaç duyacağımız ve tam olarak bölebilecek bir sayıya böleriz ve ifade sadeleştirilir. Şöyle ki;
$\displaystyle \sqrt[6]{{{{9}^{3}}}}$ Bu köklü ifadeyi şu şekilde sadeleştirebiliriz:
$\displaystyle \sqrt[{6/3}]{{{{9}^{{3/3}}}}}=\sqrt{9}=3$ Bu şekilde her iki sayıyı da 3’e böldük ve sonuca ulaştık.
b) Genişletme: Bu sefer de genişletmek istediğimiz ortak sayı ile kökün derecesi ve kök içindeki sayının derecesi çarpılır.
$\displaystyle \sqrt[4]{{{{2}^{2}}}}$ ifadesini diyelim ki 3 ile genişletmek istiyoruz:
$\displaystyle \sqrt[{4.3}]{{{{2}^{{2.3}}}}}=\sqrt[{12}]{6}$ Her iki sayıyı da 3 ile çarpıyoruz ve istediğimiz sayıya ulaşıyoruz.
Köklü Sayıların Üslü Sayıya Çevrilmesi
İki başlık öncesini hatırlarsak kök içindeki sayının kuvvetini köklü ifadenin derecesine bölerek, sayıyı kök dışına çıkartıyorduk. İşte bu yöntemle köklü sayı üslü sayıya dönüştürülür. Matematik dilinde de şöyle tanımlayabiliriz:
$\displaystyle \sqrt[z]{{{{x}^{y}}}}={{x}^{{\frac{y}{z}}}}$
$\displaystyle \sqrt{5}={{5}^{{\frac{1}{2}}}}$ şeklinde üslü sayıya çevirebiliriz.
$\displaystyle \sqrt[7]{6}={{6}^{{\frac{1}{7}}}}$
$\displaystyle \sqrt[3]{{{{5}^{2}}}}={{5}^{{\frac{2}{3}}}}$
Çift köklü sayılar kök dışına çıkarılırken mutlak değer içinde çıkmalıdır.
$\displaystyle \sqrt[{cift}]{{{{x}^{{cift}}}}}=\left| x \right|$ olarak dışarı çıkmalıdır.
$\displaystyle \sqrt[8]{{-{{2}^{8}}}}={{\left| {-2} \right|}^{{\frac{8}{8}}}}=\left| {-2} \right|=2$
Köklü Sayılarda Toplama ve Çıkarma
Köklü ifadelerde toplama veya çıkarma yapılması için 2 şart vardır. Bunlar, toplanacak veya çıkarılacak ifadelerde, kökün derecesi ve kök içindeki sayının AYNI olma şartlarıdır.
$\displaystyle 2.\sqrt[8]{5}+7.\sqrt[8]{5}=9\sqrt[8]{5}$
$\displaystyle 24.\sqrt[7]{3}-8.\sqrt[7]{3}=16\sqrt[7]{3}$
$\displaystyle 9.\sqrt[3]{2}-8.\sqrt[3]{2}+7\sqrt[3]{2}$
$\displaystyle =\left( {9-8+7} \right)\sqrt[3]{2}=8\sqrt[3]{2}$
Örnek Sorular
Örnek Sorular
$\displaystyle \sqrt[{cift}]{x}+\sqrt[{cift}]{y}=0$ ise $\displaystyle x=y=0$
Yani deniliyor ki, kök derecesi çift olan sayıların toplamı sıfıra eşitse, bu sayılar sadece ve sadece 0 olabilir ve doğal olarak da birbirlerine eşittir.
Köklü Sayılarda Çarpma ve Bölme
Toplama ve çıkarmada kök dereceleri ve kök içindeki sayı aynı olmalıydı. Çarpma veya bölmede ise işlemin yapılabilmesi için sadece kök derecelerinin AYNI olması yeterlidir. Kök dereceleri aynı ise kök içindeki sayılar aynı köklü ifadede çarpılır veya bölünür.
$\displaystyle \sqrt{3}.\sqrt{7}=\sqrt{{3.7}}=\sqrt{{21}}$
$\displaystyle \sqrt[5]{5}.\sqrt[5]{2}.\sqrt[5]{3}=\sqrt[5]{{5.2.3}}=\sqrt[5]{{30}}$
$\displaystyle \frac{{\sqrt{{20}}}}{{\sqrt{5}}}=\sqrt{{\frac{{20}}{5}}}=\sqrt{4}=2$
$\displaystyle \frac{{\sqrt{6}}}{{\sqrt[5]{2}}}=\frac{{\sqrt[{2.5}]{{{{6}^{5}}}}}}{{\sqrt[{5.2}]{{{{2}^{2}}}}}}=\frac{{\sqrt[{10}]{{{{6}^{5}}}}}}{{\sqrt[{10}]{{{{2}^{2}}}}}}=\sqrt[{10}]{{\frac{{{{6}^{5}}}}{{{{2}^{2}}}}}}$
İç İçe Köklü Sayılar
Köklü ifadelerin dışarı çıkarılmasını görmüştük. İç içe kökler ise bunun tersinin yapılmış halidir.
Peki bir sayı kök içine nasıl alınır? Şöyle ki, kök içine alınacak sayının üssü, içine alacağımız kökün kuvveti ile çarpılır.
$\displaystyle a.\sqrt[n]{x}=\sqrt[n]{{{{a}^{n}}.x}}$ Burada da görüldüğü üzere ‘a’ sayısının üssü içine gireceği kök derecei olan ‘n’ ile çarpılmış ve kök içine dahil edilmiştir.
$\displaystyle 2\sqrt[3]{5}=\sqrt[3]{{{{2}^{3}}.5}}=\sqrt[3]{{8.5}}=\sqrt[3]{{40}}$
İç içe kökler tek bir kök içine alınırken yapılacak şey kök kuvvetlerini çarpmaktır.
$\displaystyle \sqrt{{\sqrt[3]{{\sqrt[4]{{\sqrt[5]{6}}}}}}}=\sqrt[{2.3.4.5}]{6}=\sqrt[{120}]{6}$
Eşlenik İfade (Paydayı Rasyonel Yapma)
Bazı sorularda paydadaki sayılar karşımıza köklü olarak çıkmaktadır. Bu durumda paydayı kökten kurtarmamız gerekebilir, yani rasyonel yapmamız gerekir. Bunu gerçekleştirmenin yolu paydadaki köklü ifadeyi eşleniği ile çarpmaktır.
$\displaystyle \frac{1}{{\sqrt{5}}}$ ifadesinde paydayı kökten kurtaralım:
$\displaystyle \frac{1}{{\sqrt{5}}}=\frac{{1.\sqrt{5}}}{{\sqrt{5}.\sqrt{5}}}=\frac{{\sqrt{5}}}{{\sqrt[{\not{2}}]{{{{5}^{{\not{2}}}}}}}}=\frac{{\sqrt{5}}}{5}$
Görüldüğü üzere paydadaki $\displaystyle \sqrt{5}$ ifadesini rasyonel yapmak için pay ve paydayı $\displaystyle \sqrt{5}$ ile çarpıyoruz.
Peki eşlenik demek aynı sayıyla çarpılması demek mi? Hayır değil. Paydayı köklü ifadeden kurtaracak sayıyla çarpmaktır. Aşağıdaki ifadeleri inceleyelim.
- $\displaystyle \sqrt{x}$ sayısının eşleniği $\displaystyle \sqrt{x}$’tir. Çünkü çarpıldığında x olarak karşımıza çıkar.
- $\displaystyle \sqrt{a}-\sqrt{b}$ ifadesinin eşleniği $\displaystyle \sqrt{a}+\sqrt{b}$’dir. Bu ifadeler çarpıldığında $\displaystyle {{\left( {\sqrt{a}} \right)}^{2}}-{{\left( {\sqrt{b}} \right)}^{2}}=a-b$ sonucu karşımıza çıkar ve ifade kökten kurtulur.
- $\displaystyle a+\sqrt{b}$ ifadesinin eşleniği $\displaystyle a-\sqrt{b}$’dir. Bu ifadeler çarpıldığında $\displaystyle {{a}^{2}}-b$ ifadesi karşımıza çıkar ve kökten kurtarmış oluruz.
- $\displaystyle \sqrt{a}-b$ ifadesinin eşleniği $\displaystyle \sqrt{a}+b$’dir. Çünkü ancak bu ifadeler birbirleriyle çarpıldığında $\displaystyle {{\left( {\sqrt{a}} \right)}^{2}}-{{b}^{2}}=a-{{b}^{2}}$ ifadesi karşımıza çıkar ve ifade kökten kurtulur.
$\displaystyle \frac{3}{{\sqrt{7}-\sqrt{2}}}$ bu ifadedeki paydanın eşleniği $\displaystyle \sqrt{7}+\sqrt{2}$’dir. Dolayısıyla bu soru şöyle çözülür:
$\displaystyle \frac{3}{{\sqrt{7}-\sqrt{2}}}=\frac{{3.\sqrt{7}+3.\sqrt{2}}}{{\left( {\sqrt{7}-\sqrt{2}} \right).\left( {\sqrt{7}+\sqrt{2}} \right)}}$
$\displaystyle =\frac{{3.\sqrt{7}+3.\sqrt{2}}}{{7-2}}=\frac{{3.\sqrt{7}+3.\sqrt{2}}}{5}$
Özel Kök
$\displaystyle \sqrt{{a\pm 2\sqrt{b}}}$ şeklindeki ifadelere özel kök denmektedir. Bu şekilde karşımıza çıkan ifadelerin özel kök olabilmesi için 3 şart gerekir.
- İfade iç içe kök olmalıdır.
- Kökün derecesi 2 olmalıdır.
- Kök içindeki kökün başında 2 katsayı bulunmalı.
Peki özel kökler kök dışına nasıl çıkartılır? Öncelikle ‘b’ sayısı çarpanlarına ayrılır. Fakat bu çarpanlar öyle sayılar olmalı ki toplamı ‘a’ sayısına eşit olmalı. Ancak bu şekilde ‘b’ sayısının çarpanları ayrı ayrı kök içinde dışarıya çıkarlar. Şimdi önce bunu matematiksel dilde nasıl ifade edebiliriz ona bakalım. Sonra da bir örnekle pekiştirelim.
$\displaystyle \sqrt{{a\pm 2\sqrt{{\underset{{{}_{x}\swarrow {{\searrow }_{y}}}}{\mathop{b}}\,}}}}\text{ }$
Bu matematiksel ifadede, b’nin çarpanları ($\displaystyle b=x.y$) toplandığında a’ya eşitse ($\displaystyle a=x+y$) , bu çarpanlar ayrı ayrı kök içinde artık dışarıya çıkabilirler ($\displaystyle \sqrt{x}\pm \sqrt{y}$) denilmektedir. Şimdi bunla ilgili birkaç örnek çözelim.
$\displaystyle \sqrt{{5-2\sqrt{6}}}=?$
Şimdi burada formülümüze göre a=5 olmakta. b=6 olmakta, katsayımız da 2 ve özel kök ifademizi karşılıyor. b’nin yani 6’nın çarpanları 3 ve 2 toplamı a’ ya eşit. a=3+2. Dolayısıyla buradaki 3 ve 2 kök içinde dışarı çıkabilir.
$\displaystyle \sqrt{{5-2\sqrt{6}}}=\sqrt{3}-\sqrt{2}$
$\displaystyle \sqrt{{11+4\sqrt{7}}}=?$
Şimdi bu ifade özel kök şartlarını karşılamıyor. Çünkü istediğimiz 2 ortalıkta yok. Dolayısıyla $\displaystyle \sqrt{7}$ ifadesinin solunda sadece 2 kalmasını sağlamalıyız.
$\displaystyle \sqrt{{11+4\sqrt{7}}}=\sqrt{{11+2.2\sqrt{7}}}$
$\displaystyle =\sqrt{{11+2\sqrt{{{{{7.2}}^{2}}}}}}=\sqrt{{11+2\sqrt{{28}}}}$
Şimdi istediğimiz özel köke ulaştık. 28’in çarpanlarını toplamı 11 olacak şekilde bulalım.
$\displaystyle \sqrt{{11+2\sqrt{{\underset{{{}_{7}\swarrow {{\searrow }_{4}}}}{\mathop{{28}}}\,}}}}$
$\displaystyle 7+4=11$ ifadesi de sağlanabildiğine göre;
$\displaystyle \sqrt{{11+4\sqrt{7}}}=\sqrt{7}+\sqrt{4}=\sqrt{7}+2$ ifadesine ulaşabiliriz.
Sonsuz Kök
Sonsuz kökler $\displaystyle \sqrt{{x\mp \sqrt{{x\mp \sqrt{{x\mp ….}}}}}}$ şeklinde karşımıza çıkabilmektedir. Böyle ifadeleri, yani sonsuz kökleri gördüğümüzde bazı kuralları göz önüne getirmek lazım. Çünkü bu ifadelerden değişik sorular çıkmaktadır. Fakat diğer tanımlara göre çözümleri daha akılda kalıcı ve kolaydır. Şimdi karşımıza çıkabilecek sorulara göre bu kuralları inceleyelim.
Toplam (+) halindeki bir sonsuz kök içindeki sayı, ardışık iki sayının çarpımı şeklinde yazılabiliyorsa bu işlemin sonucu çarpanlardan büyük olana eşittir. Fakat çıkarma (-) halindeki bir sonsuz kök içindeki sayı, ardışık iki sayının çarpımı şeklinde yazılabiliyorsa bu işlemin sonucu çarpanlardan küçük olana eşittir. Bunları matematiksel ifade olarak ve örneklerle açıklayalım.
$\displaystyle \sqrt{{x+\sqrt{{x+\sqrt{{x+….}}}}}}=(a+1)$
$\displaystyle \sqrt{{x-\sqrt{{x-\sqrt{{x-….}}}}}}=a$
$\displaystyle \sqrt{{42+\sqrt{{42+\sqrt{{42+….}}}}}}=?$
42’nin ardışık çarpanları 6 ve 7 olduğuna göre ve işlem toplama olduğu için büyük olan 7 bu sorunun sonucudur.
$\displaystyle \sqrt{{42+\sqrt{{42+\sqrt{{\underset{{6\swarrow \searrow 7}}{\mathop{{42}}}\,+….}}}}}}=7$
$\displaystyle \sqrt{{42-\sqrt{{42-\sqrt{{42-….}}}}}}=?$
Burada ise çıkarma işlemi olduğu için küçük olan ardışık çarpan işlemin sonucudur.
$\displaystyle \sqrt{{42-\sqrt{{42-\sqrt{{\underset{{6\swarrow \searrow 7}}{\mathop{{42}}}\,-….}}}}}}=6$
Şimdi de sonsuz köklerde çarpma ve bölme olarak karşımıza çıkan şu kuralı inceleyelim:
$\displaystyle \sqrt[n]{{a.\sqrt[n]{{a.\sqrt[n]{{a….}}}}}}=\sqrt[{n-1}]{a}$
$\displaystyle \sqrt[n]{{a:\sqrt[n]{{a:\sqrt[n]{{a:…}}}}}}=\sqrt[{n+1}]{a}$
Burada denilmek istenen şu; bu şekilde çarpım halinde bir sonsuz köklü gördüğünüzde sonuç, o sayının köklü ifadesinin derecesinden 1 eksiltilmesiyle ortaya çıkar. Bölme halinde ise kökün derecesinin 1 arttırılmasıyla sonuca ulaşılır.
$\displaystyle \sqrt[3]{{25.\sqrt[3]{{25.\sqrt[3]{{25….}}}}}}=\sqrt[{3-1}]{{25}}=\sqrt[2]{{25}}=5$
$\displaystyle \sqrt[3]{{81:\sqrt[3]{{81:\sqrt[3]{{81:…}}}}}}=\sqrt[{3+1}]{{81}}=\sqrt[4]{{81}}=3$
Köklü Sayılarda Sıralama
Köklü ifadelerin son bölümü olan köklü sayılar konusunda sıralama başlığını irdeleyelim. Bilmemiz Gereken 2 kural vardır. Bunlar;
- Eğer sıralanacak köklü ifadelerin kök dereceleri aynıysa sadece kök içindeki sayıya bakılır. Eğer kök derecesi aynıysa sıralama basittir. Sayısı küçük olandan büyük olana doğru sıralanır.
$\displaystyle \sqrt{2}\langle \sqrt{5}\langle \sqrt{7}$
- Eğer sıralanacak köklü ifadelerin dereceleri farklı ise önce bu ifadelerin kök dereceleri eşitlenir. Bunu da OKEK ile yapabiliriz. Köklerin dereceleri eşitlendikten sonra yine kök içindeki sayıya bakılarak sıralama yapılır.
$\displaystyle \sqrt{2},\sqrt[3]{5},\sqrt[4]{7}$ köklü ifadelerini sıralayalım. Bu sayıların kök dereceleri sırasıyla 2,3 ve 4. Bunların OKEK’ini bulalım;
OKEK (2,3,4) = 12 olduğundan kök derecelerini 12 ile eşitleriz.
$\displaystyle \sqrt[{2.6}]{{{{2}^{6}}}},\sqrt[{3.4}]{{{{5}^{4}}}},\sqrt[{4.3}]{{{{7}^{3}}}}$ ifadeleri,
$\displaystyle \sqrt[{12}]{{64}},\sqrt[{12}]{{625}},\sqrt[{12}]{{343}}$ olarak karşımıza çıkar. O zaman doğru sıralama şu şekilde olur:
$\displaystyle \sqrt{2}\langle \sqrt[4]{7}\langle \sqrt[3]{5}$
Böylece KPSS genel kültür matematik konularından Köklü Sayılar konusu tamamlanmış oldu. Lütfen konu ile ilgili bolca test çözünüz. Sadece konu anlatımı ve kısa örnekler bu konunun kısa sürede unutulmasına sebep olur. Ayrıca farklı kaynaklardan yararlanmayı da unutmayın.
Bir sonraki matematik konumuz Çarpanlara Ayırma olacaktır.
Bir sorum olucak çözemedim yardımcı olursanız çok sevinirim.x üzeri7=kök5 -2 y üzeri6=kök5 +2 olduğuna göre (x.y) üzeri 84 ifadesinin değeri kaçtır?
Merhaba; köklü sayılarda toplama ve çıkarma işlemi 7. soruda toplama yapılamaz diyor ama dereceleri eşitleyip toplama yapamaz mıyız?
Köklü sayılarda toplama ve çıkarma yapmak için hem kök derecesinin hem de kök içinin aynı olması gerekir. 2b + 4b=6b gibi. Dereceleri eşitlersek bu sefer kök içi bozulur. Bu yüzden yapılamaz .
hayır ne alaka boş boş soru sorma