Geometri Temel Kavramlar ve Açılar
Üçgende Açı - Açıortay - Kenarortay
Üçgende Açı Kenar Bağıntıları
Üçgende Alan: Dik Üçgen - İkizkenar Üçgen - Eşkenar Üçgen 
Üçgende Alan 
Üçgende Benzerlik 
Çokgenler 
Dörtgenler
Paralelkenar
Dikdörtgenler | Eşkenar Dörtgen | Kare
Yamuk | Yamukta Alan | İkizkenar Yamuk ve Dik Yamuk

Kpss geometri dersine ait konulardan kpss sınavında ortalama 3 soru çıkmaktadır. Peki bu kadar az soru çıkıyor diye bu konuyu bilmek zorundamıyım diyorsanız bu size kalmış birşey. Ancak geometri soruları her zaman belirleyici olmaktadır. Bunun sebebi de  geometri sorularının kpss sınavında yanıtlanma oranlarının çok az olması ve buna bağlı olarak satndart sapmanın yükselmesini sağlar. Yani geometri sorularının bize, soru sayısı az olmasına rağmen getirisi fazla olabilir. Bu yüzden Kpss geometri konularına ön yargılı olmayalım, konulara göz attığınızda yapabildiğinizi göreceksiniz.

Kpss geometri dersinde; geometride tememl kavramlar, düzlem ve açılar, kenarortay, açıortay, üçgende kenar – açı bağlantı bağıntıları, özel üçgenler, üçgende alan, üçgende benzerlik, çokgenler ve dörtgenler, çemberde açılar, katı cisimler ve analitik geometri konularında oluşmaktadır.

Hepinize Başarılar Dileriz.

Bu yazı Kpss Geometri ilk olarak şurada görüldü: .

Yamuk, yamuğun alanı ve çevresi, ikizkenar yamuk ve dik yamuk gibi geometri dersine ait konulardan ÖSYM KPSS içerisinde çok fazla soru sormamaktadır. Genel olarak zaten geometri dersinin tüm konularından 3-4 soru çıktığını da biliyoruz. Geometri konularından hangi başlıktan soru çıkacağını tahmin etmemiz pek mümkün değil. Bu yüzden yamuk ve ilgili alt başlıklarını da bilmemiz gerekmektedir.

Yamuk

[AB] // [CD]

Yamuk, karşılıklı iki kenarı paralel olan dörtgendir. Şekilde de görüldüğü üzere bu yamuğun AB kenarı CD kenarına paralel. AB kenarı alt taban, CD kenarı da üst taban olarak geçmektedir. Dolayısıyla iki kenarı paralel olan bir dörtgen gördüğümüz zaman yamuk ve yamuğa ait formülleri aklımıza getirebiliriz.

Yamukta Orta Taban

Yamuk ve orta taban bağıntıları ile ilgili karşımıza 3 tane formül çıkmaktadır. Bu formülleri, orta taban etkili olduğunda problemlerde kullanabiliriz. Orta taban ile ilgili formülleri sıralamadan önce tanımını yapalım.

Yamukta yan kenarların orta noktalarını birleştirecek şekilde ortaya çıkan doğru parçasına orta taban denir.

Yamuk ve Orta Taban ile ilgili 3 farklı problem ve çözüm şekline dair formüller aşağıda listelenmiştir.

1.
$\displaystyle m\widehat{{(A)}}+m\widehat{{(D)}}=m\widehat{{(B)}}+m\widehat{{(C)}}={{180}^{\circ }}$

Burada belirtilen, bir yamukta paralel iki tabanın karşılıklı açılarının toplamı birbirine eşittir.

Karşılıklı açıların toplamı aynı zamanda 180’e eşittir.

2.
 [EF] orta taban olmak üzere;

• $\displaystyle \left| {EF} \right|=\frac{{a+c}}{2}$

• $\displaystyle \left| {KL} \right|=\frac{{a-c}}{2}$

Birinci formülde, paralel iki tabanın toplamının yarısı orta tabana eşittir deniliyor. İkinci formülde ise paralel iki tabanın farkının yarısının, köşegenlerin kestiği orta taban aralığına eşit olduğundan bahsediliyor.

3.

$\displaystyle O\in [MN]$ olmak üzere;

[AB] // [MN] // [CD]

$\displaystyle \left| {MN} \right|=\frac{{2ac}}{{a+c}}$

Buradaki formülde, köşegenlerin tek noktadan kestiği ortadaki tabanın uzunluğunun, alt ve üst tabanın çarpımının 2 katının, alt ve üst tabanın toplamlarının oranına eşit olduğundan bahsetmektedir. Aynı zamanda |MO| uzunluğu |ON| uzunluğuna eşittir.

Yamuğun Alanı – Yamukta Alan Bağıntıları

KPSS geometri konularından olan yamukta alan bağıntılarını genel bir alan formülü ve 2 farklı şekilde karşımıza çıkan alan formülleriyle inceleyeceğiz. İlk olarak yamuğun alanı ile ilgili genel formüle bakalım.

|DC|=c ve |AB|=a olmak üzere;

$\displaystyle Alan(ABCD)=\left( {\frac{{a+c}}{2}} \right).h$

Bir yamuğun alanı, alt ve üst taban uzunluklarının toplamının yarısı ile bu tabanlara dik çizilen doğru uzunluğunun (yamuğun yüksekliğinin) çarpımına eşittir.

Şimdi de yamuğun alanına dair diğer 2 formülü inceleyelim:

1.
E, |AD| uzunluğunun orta noktası,

$\displaystyle [EK]\bot [BC]$ olmak üzere,

$\displaystyle A(ABCD)=2A(C\overset{\vartriangle }{\mathop{E}}\,B)$

$\displaystyle =\not{2}.\frac{{|BC|.|EK|}}{{\not{2}}}=|BC|.|EK|$

Yamuğun bir kenarının orta noktasından diğer kenara dik olarak çıkan doğru, bu orta noktadan köşegenlere ulaşarak çizilen üçgenin yüksekliğini oluşturmaktadır. Dolayısıyla bu üçgenin alanının 2 katı ABCD yamuğunun alanına eşittir. Tüm bu şartlar ortaya çıktığında ABCD’nin alanı, kenar ve bu kenara çizilen dikin uzunluklarının çarpımına eşittir deriz.

2.
x, y, z ve k bulundukları üçgenleri alanları dersek;

$\displaystyle x=y=\sqrt{{z.k}}$

Yamukta, yandaki şekilde köşegenleri çizilmiş bir şekil görürsek, karşılıklı sağ ve sol üçgen alanlar birbirine eşittir ve bunlar alt ve üstteki üçgen alanların çarpımının kareköküne eşittir deriz.

İkizkenar Yamuk

İkizkenar yamuk, yan kenarları birbirine eşit olan yamuktur.

İkizkenar yamukla ilgili de karşımıza 4 tane özellik çıkmaktadır. Bu özellikler ve bunlara ait formülleri bilirsek ikizkenar yamuk ile ilgili çıkan problemleri rahatlıkla çözebiliriz.

İkizkenar Yamuğun Özellikleri

1.

$\displaystyle m(\widehat{A})=m(\widehat{B})=y$

$\displaystyle m(\widehat{C})=m(\widehat{D})=x$

$\displaystyle x+y={{180}^{\circ }}$

İkizkenar yamukta tabanların açıları birbirine eşittir. Karşılıklı taban açılarının toplamı da birbirine eşittir. Bunun temel sebebi de yamuğun özelliklerinden kaynaklanan iki tabanın birbirine paralel olmasıdır.

2.
|AC|=|BD|

|AO|=|BO|

|CO|=|DO|

İkizkenar bir yamukta köşegen uzunlukları birbirine eşittir. Aynı zamanda köşegenlerin kestiği noktadan köşelere giden doğrular da birbirine eşittir.

3.

$\displaystyle |AK|=|BL|=\frac{{a-c}}{2}$

İkizkenar yamukta üst tabandan inen diklerin oluşturduğu alt ve üst taban uzunlukları birbirine eşittir. Aynı zamanda alt tabandan arta kalan iki parça da birbirine eşittir ve bu parçalar yamuğun alt taban uzunluğunun üst tabandan farkının yarısı olarak formülize edilir.

4.

$\displaystyle h=\frac{{a+c}}{2}$

İkizkenar yamukta köşegenler birbirini dik kesmişse, alt tabana indirilen dik uzunluk, alt taban ve üst taban uzunluklarının toplamının yarısına eşittir.

Dik Yamuk

Geometri dersindeki yamuk konularından son başlık olan dik yamuk, yamuğun yan kenarlarından birinin tabanlara dik olmasıyla oluşur.

|BH|=a-c

Dikin inmesiyle bölünen alt tabandan üst tabanı çıkardığımızda, yeni oluşan üçgenin taban uzunluğuna erişebiliriz.

$\displaystyle {{h}^{2}}=a.c$

Dik yamukta çizilen köşegenlerin arası 90 derece ise, yani köşegenler birbirini dik kesmişse, bu dik yamuğun yüksekliğinin karesi, yamuğun alt ve üst tabanlarının çarpımına eşittir.

Kpss geometri dersinde yer alan yamuk , yamuğun alanı ve alan bağıntıları, ikizkenar yamuk ve dik yamuk başlıkları tamamlanmıştır. Bir sonraki geometri konumuz Deltoid olacaktır.

Bu yazı Yamuk | Yamuğun Alanı – İkizkenar Yamuk – Dik Yamuk ilk olarak şurada görüldü: .

Dikdörtgen konumuzda dikdörtgenin özellikleri ile eşkenar dörtgen ve özelliklerini son olarak da kare ve özelliklerini inceleyeceğiz. Dikdörtgen konusundan kpss sınavında bir çok soru gelmektedir. Önceki konumuzda Paralelkenarı işlemiştik. Sıradaki kpss geometri dersi konumuz ise Dikdörtgen olacaktır.

Dikdörtgen

Açıları $ \displaystyle {{90}^{o}}$olan paralelkenardır. Paralelkenarın bütün özelliklerini taşıyan dikdörtgenlerin köşegenlerinin uzunlukları birbirlerine eşittir. Tüm açıları ve karşılıklı kenarları birbirine eşittir. Köşegenler birbirini ortalar.

$ \displaystyle \left| AC \right|$=$ \displaystyle \left| BD \right|$ olur.

$ \displaystyle \left| AO \right|$=$ \displaystyle \left| BO \right|$=$ \displaystyle \left| CO \right|$=$ \displaystyle \left| DO \right|$

Dikdörtgenin alanı kısa kenar ile uzun kenarın birbir ile çarpılması sonucu bulunur.

Dikdörtgenin içinde yer alan herhangi bir noktaya köşelerden çizgiler çizildiğinde, karşılıklı köşelerden çizilen 2 çizginin karelerinin toplamı diğer karşılıklı iki çizginin karelerinin toplamına eşittir.

P dikdörtgenin içinde herhangi bir nokta olsun;

$ \displaystyle {{\left| PA \right|}^{2}}+{{\left| PC \right|}^{2}}={{\left| PB \right|}^{2}}+{{\left| PD \right|}^{2}}$

Aynı durum P noktasının dikdörtgen dışında herhangi bir noktada çizilmesi durumunda da söz konusudur.

$ \displaystyle {{\left| PA \right|}^{2}}+{{\left| PC \right|}^{2}}={{\left| PB \right|}^{2}}+{{\left| PD \right|}^{2}}$

Şimdi geometri dersinde yine karşımıza sıkça çıkan Eşkenar Dörtgen ve Kare başlıklarını inceleyelim.

Eşkenar Dörtgen

Dört kenarı eşit paralel kenarlara eşkenar dörtgen denir. Eşkenar dörtgenler paralelkenarın tüm özelliklerini taşır. Köşegenleri açıortaydır ve köşegenler arasındaki açı $ \displaystyle {{90}^{o}}$ ‘dir.

A(ABCD)= $ \displaystyle \frac{\left| AC \right|.\left| BD \right|}{2}$

Kare

Dört kenarı eşit olan dikdörtgenlere kare denir. Paralelkenar, dikdörtgen ve eşkenar dörtgeni tüm özelliklerini taşır.

$ \displaystyle \left| AC \right|=\left| BD \right|=a\sqrt{2}$

Alan=$ \displaystyle {{a}^{2}}$ veya

Alan=$ \displaystyle \frac{{{\left| AC \right|}^{2}}}{2}$

Kpss genel yetenek geometri dersi dikdörtgen, eşkenar dörtgen ve kare konusunu tamamladık. Bir sonraki genel yetenek geometri dersi konumuz Yamuk olacaktır.

Bu yazı Dikdörtgen | Eşkenar Dörtgen | Kare ilk olarak şurada görüldü: .

Paralelkenar bir dörtgen çeşididir. Konumuzda paralelkenar özelliklerini, paralelkenar alan hesaplamaları ile ilgili yöntem ve özellikleri inceleyeceğiz. Paralelkenar konusu kpss geometri dersinin eğlenceli ve soru çözmesi zevkli bir konusudur. Şunu unutmayalım ki geometride en önemli kısım dikkat ve sorudaki özelliği yada isteneni görebilme yeteneğini kazanmaktır. Bu da ancak bol örnek çözmekle ve sık sık tekrar yapmak ile mümkün olmaktadır. Önceki konumuzda Dörtgenleri incelemiştik. Sıradaki konumuz ise Paralelkenar olacaktır.

Paralelkenar

Karşılıklı kenarları birbirine paralel ve eş olan dörtgenlere paralelkenar denir.

$ \displaystyle \left[ AB \right]$//$ \displaystyle \left[ CD \right]$

$ \displaystyle \left[ BC \right]$//$ \displaystyle \left[ AD \right]$

Paralelkenar Özellikleri:

1. Paralelkenarın karşılıklı açıları birbirine eşittir.

2. Paralelkenarın karşılıklı kenarları birbirine eşittir.

3. Paralelkenarın köşegenleri birbirini ortalar.

$ \displaystyle \left| AO \right|=\left| CO \right|$

$ \displaystyle \left| BO \right|=\left| DO \right|$

Yani bölünen köşegenin her iki parçası birbirine eşittir.

4. $ \displaystyle \left[ AE \right]$ ile $ \displaystyle \left[ BE \right]$ açıortay ise m($ \displaystyle \widehat{AEB}$)=$ \displaystyle {{90}^{0}}$

Açıortayların kesiştikleri bölümdeki açı $ \displaystyle {{90}^{0}}$’dir.

Paralelkenarın Alanı

Alan (ABCD)=a.$ \displaystyle {{h}_{a}}$=b.$ \displaystyle {{h}_{b}}$

Kenar ve o kenarın yüksekliğinin çarpımı  paralelkenarın alanını vermektedir.

a.

$ \displaystyle {{S}_{1}}$=$ \displaystyle {{S}_{2}}$=$ \displaystyle {{S}_{3}}$=$ \displaystyle {{S}_{4}}$

Köşegenlerle 4’e ayrılmış bir paralel kenarın her bir bölümünün alanı birbirine eşittir.

b. “P”, paralel kenar içinde herhangi bir nokta  olsun.

$ \displaystyle {{S}_{1}}$+$ \displaystyle {{S}_{3}}$=$ \displaystyle {{S}_{2}}$+$ \displaystyle {{S}_{4}}$=$ \displaystyle \frac{A(ABCD)}{2}$

Oluşan üçgenlerden karşılıklı olanlarının alanları toplamı paralelkenar alanının yarısına eşittir.

c.
$ \displaystyle {{S}_{1}}$=$ \displaystyle {{S}_{2}}$+$ \displaystyle {{S}_{3}}$ ve Alan (AEB)= $ \displaystyle \frac{A(ABCD)}{2}$

Paralel kenar bir kenardan belirlenen herhangi bir tepe noktasından bölünerek üç tane üçgen elde edilir. Şekilde görüldüğü gibi büyük üçgenin alanı diğer iki küçük üçgenin alanlarının toplamına eşittir.

Kpss genel yetenek geometri dersine ait Paralelkenar konusu tamamlanmıştır. Bir sonraki kpss genel yetenek geometri konusu Dikdörtgen olacaktır.

Bu yazı Paralelkenar ilk olarak şurada görüldü: .

Dörtgenler konusu kpss genel yetenek geometri konuları içinde yer almaktadır. Genelde çokgenler ile beraber işlenen dörtgenler konusu kpss geometri sorularında üçgenden sonra karşımıza en sık çıkan şekiller arasında yer almaktadır. Belirtildiği üzere bir önceki konuda çokgenler konusunu işlemiştik. Şimdi de dörtgenler konusunu ele alacağız.

Dörtgenler

Dörtgenler konusu aslında geniş bir konudur. Dikdörtgen, kare, paralelkenar gibi şekiller de aslında dörtgendir. Ancak bu bölümde özel dörtgenler dışında yer alan dörtgen özelliklerini irdeleyeceğiz.

• Bir dörtgenin iç ve dış açılarının ölçüleri toplamı 360 derecedir.

• Kpss geometri dersinde yer alan dörtgen konusuna ait bir diğer özellik de, bir dörtgende ardışık iki açının açıortayları arasında oluşan açının, diğer iki açının toplamlarının yarısına eşit olmasıdır. Bunu da aşağıdaki formülle açıklayabiliriz.

• Kpss geometri dersinde, bir dörtgende karşılıklı iki açının açıortayları arasında oluşan dar açı, diğer iki açının mutlak farkının yarısına eşit olmaktadır. Aşağıda bunun formülize edilmiş hali bulunmaktadır.

• Yandaki konveks dörtgeni aslında iki tane üçgenin taban tabana yapışması olarak da görebilirsiniz. Bu şekilde köşegenleri dik kesişen bir konveks dörtgende şu sonuçlar ortaya çıkmaktadır:

Ayrıca |AC|=e ve |BD|=f olmak üzere; sonucu da ortaya çıkar.

Kpss genel yetenek geometri dersinde yer alan dörtgenlerle ilgili bir örnek çözelim.

Kpss genel yetenek geometri dersine ait Dörtgenler konusu tamamlanmıştır. Bir sonraki kpss geometri konusu Paralelkenar olacaktır.

Bu yazı Dörtgenler ilk olarak şurada görüldü: .

Çokgenler konusu kpss geometri konuları içinde genelde dörtgenlerle beraber işlenen bir konudur. Ancak çokgenler ve dörtgenler konusunu ayrı ayrı işleyeceğiz. Çokgenler ve dörtgenlerle iligli son 12 yılda 12 tane soru çıkmıştır. Yani kpss genel yetenek kısmında bu konuyla ilgili hemen hemen her yıl bir soru sormaktadır. Sanırım bu istatistikler konunun önemini yeterince ortaya koymaktadır. Çokgen konusunu tamamladıktan sonra bir sonraki konu dörtgenler olacaktır.

Çokgenler

Düzlemde herhangi üçü doğrusal olmayan üç ya da daha fazla noktanın ikişer ikişer birleştirilmesiyle beraber oluşan kapalı geometrik şekillere çokgen denilmektedir. Kpss geometri dersinde kenar sayılarına göre adlandırılan çokgenler, üçgen, dörtgen, beşgen, altıgen … gibi değişik kenar sayılarına göre isimler alır.

α= Dış Açı.

β= İç Açı.

[AD]= Köşegen: Çokgende komşu olmayan iki köşeyi birleştiren doğru parçasına çokgen denilmektedir.

* n Kenarlı Konveks (Dış Bükey) Bir Çokgenin Özellikleri:

• İç açılar toplamı 180 derecedir. (n-2)
• Dış açılar toplamı her zaman sabittir ve 360 derecedir.
• Tüm iç ve dış açılar toplamı n.180 derecedir.
• Köşegen sayısı formülü:
• Bir köşeden (n-3) köşegen çizilir. Bunlar (n-2) tane üçgen oluşturmaktadır.

Düzgün Çokgen

Tüm kenarları ve tüm iç açıları eş olan dış bükey çokgene düzgün çokgen denir.

Düzgün çokgenin bir dış açısı:

Düzgün çokgenin bir iç açısı:

Düzgün Beşgen

Düzgün beşgenin bir dış açısı:

Düzgün beşgenin bir iç açısı:

Kpss geometri dersinde Kenar sayısı tek olan beşgen, yedigen, dokuzgen gibi düzgün çokgenlerde bir açıdan karşı kenara indirilen dikme düzgün çokgenin simetri ekseni olmaktadır. Simetri ekseni aynı zamanda bir çokgende yükseklik, kenarortay ve açıortay görevi de yapmaktadır.

Düzgün Altıgen

Düzgün altıgenin dış açısı:

Düzgün altıgenin iç açısı:

Kenar sayısı altıgen, sekizgen gibi çift olan düzgün çokgennlerde karşılıklı köşeleri her iki tarafında eşit sayıda kenar kalacak şekilde birleştiren doğru simetri eksenidir.

Düzgün altıgenin tüm simetri eksenleri çizilirse, düzgün altıgen 6 tane eşkenar üçgene ayrılır. Böylece ; sonucu ortaya çıkmaktadır.

Kpss genel yetenek geometri dersine ait çokgenler konusu tamamlanmıştır. Bir sonraki kpss geometri konusu dörtgenler olacaktır.

Bu yazı Çokgenler ilk olarak şurada görüldü: .

Üçgende benzerlik konusu kpss geometri dersi dahilindedir. Bilindiği üzere kamu personeli seçme sınavında genel yetenek bölümünde geometri ile ilgili az soru çıkmaktadır. Buna paralel olarak da üçgende benzerlik konusuyla ilgili son 12 yılda sadece 2 soru çıkmıştır. Ancak yüksek puan hedefleyen memur adaylarının bu konuyu iyi kavraması gerekmektedir. Üçgende benzerlik konusu içinde mantığı da barındırdığı için diğer geometri konularına göre daha zevklidir.

Üçgende Benzerlik

Kpss geometri konusunda, bir cismin belli bir oranda büyütülmesi ve küçültülmesi ile oluşan şekiller birbirlerinin benzeri olarak adlandırılır.

Her üçgen benzer değildir. Üçgenlerin benzer olabilmesi için, iki üçgen arasında yapılan karşılaştırmada bu iki üçgenin iki iç açısı eşit veya bu üçgenlerin kenarlarının orantılı olması gerekmektedir. Eğer bu şartlar gerçekleşirse bu iki üçgen benzer üçgendir denir.

Yandaki ABC üçgeni ile DFE üçgeni benzer üçgenlerdir. Bu benzer üçgenler  şeklinde gösterilir. Ayrıca bu iki benzer üçgen arasındaki bağıntılar da şu şekildedir:

, ,

İki üçgen arasında bulunan benzerlik oranı bu iki üçgenin çevreleri, yükseklikleri, açıortayları ve kenarortayları arasında da bulunur. Yani iki üçgen arasında benzerlik oranı 2 ise yükseklikleri oranı da 2 olacaktır. (Yükseklikleri çizilen kenarların oranı aynı olmalıdır.)

• Açı – Açı Benzerliği: Herhangi iki üçgenin iki iç açısı eşit ise bu üçgenler benzer üçgenlerdir.

Açı – açı benzerlik teoremini bir örnekle açıklayalım.

• Kenar Açı Kenar Benzerliği: Üçgende benzerlik konusu içindeki kenar açı kenar benzerliği, iki üçgenin birer açıları eşit ve bu açıları oluşturan kenarlar orantılı olduğu zaman oluşmaktadır.

Yandaki benzer iki üçgende ortak açıları oluşturan kenarları orantıladığımızda şu eşitliği elde ederiz:

• Kenar – Kenar – Kenar Benzerliği: Bu benzerlikte de iki üçgenin tüm kenarları orantılı ise üçgenlerde benzerlik ortaya çıkar.

• Temel Benzerlik Teoremi: Orantılı doğru parçaları ya da Thales olarak da adnlandırılan temel benzerlik teoremi şu şekilde olmaktadır.

Ayrıca bu şekilde oluşan temel benzerlik teoreminde paralelliği de ortaya çıkmaktadır.

Kpss genel yetenek Geometri dersine ait Üçgende Benzerlik konusu tamamlanmıştır. Bir sonraki kpss geometri konusu Çokgenler olacaktır.

Bu yazı Üçgende Benzerlik ilk olarak şurada görüldü: .

Üçgende alan konusu kpss geometri dersi içinde işlenmektedir. Kpss sorularında üçgende alan ile ilgili son 12 yılda toplam 8 tane soru çıkmıştır. Geometri soruları genel yetenek soruları içinde az bir yer kaplasa da, üçgende alan konusu yıllara göre çıkan soru sayısına göre önemlidir. Bu yüzden konuya gerekli özeni gösterelim.

Üçgende Alan

Üçgende alan konusuyla ilgili özellikler aşağıda sıralanmıştır. Tüm geometri konularında olduğu gibi bu konuyla ilgili de bazı formüller ön plana çıkmatadır. Baktığımız şekilleri hatırlamamız sınav anında kolay değildir. Önümüze çıkan kpss sorularında aklımızda tuttuğumuz bu resimleri ve formülleri genelde soruya uygulamak çok zordur. Bunun için tabiki bolca soru, test ve kpss deneme sınavı çözmek konuyu daha rahat sindirmenize yardımcı olacaktır.

• Bir üçgenin alanı, bir kenarın uzunluğu ile bu kenara ait yüksekliğin uzunluğunun çarpımının yarısına eşittir.

• Üçgende alan konusunda, bir üçgenin üç kenarının uzunluğu verilirse ve dersek;

ABC üçgeninin alanını bu şekilde bulabiliriz.

• Bir üçgenin iç teğet çemberinin yarıçap uzunluğu (r) ve çevresinin uzunluğu (2u) biliniyorsa ABC üçgeninin alanında şöyle bir ilişki doğar;

•  Bir üçgenin çevrel çemberinin yarıçapı (r) uzunluğu verilirse aşağıdaki formül ortaya çıkar.

• Bir dik üçgenin alanı dik kenarların çarpımının yarısına eşittir.

Buradan, sonucu ortaya çıkar.

• Bir dik üçgenin iç teğet çemberinin hipotenüs üzerinde ayırdığı parça uzunlukları m ve n ise Alan şu şekilde bulunur:

• Eşkenar Üçgenin Alanı:

ABC üçgeni eşkenar üçgen olmak üzere,

• Bir üçgenin bir kenarına paralel olarak çizilen doğrular diğer kenarları farklı noktalarda kesiyor ve doğrular üçgenin kenarları üzerinde eşit parçalar ayırıyorsa paralel doğrular arasında bölgelerin alanları tek sayılar ile orantılı biçimdedir.

• Yükseklikleri aynı tabanları farklı üçgenlerin alanlarının oranı tabanlarının oranına eşittir.

• Üçgende alan konusu içinde bir de kenarortayların oluşturduğu alanlar mevcuttur.

• Açıortayın oluşturduğu alan

Kpss genel yetenek geometri dersine ait üçgende alan konusu tamamlanmıştır. Bir sonraki kpss geometri konusu Üçgende Benzerlik olacaktır.

Bu yazı Üçgende Alan ilk olarak şurada görüldü: .

Özel üçgenler kpss geometri konusu içinde önemli bir yer kaplamaktadır. Üçgenlerle ilgili Kpss’de çıkan soruların çoğunda özel üçgenlerle ilgili teoremler ön plana çıkmaktadır. Özel üçgenler konusu dik üçgen, ikizkenar üçgen ve eşkenar üçgen olarak işlenecektir. Genelde teoremleri ya da formülleri ezbere dayalı olsa da, geometri sorularını çözerken mantık da ön plana çıkmaktadır. Konuyla ilgili bol soru çözümüyle beraber formüller daha rahat akılda kalmaktadir. Ayrıca bol soru çözümüyle özel üçgenler ile ilgili kpss soru tiplerini de daha rahat kavrayabilirsiniz.

Özel Üçgenler

Kpss geometri Özel üçgenler konusu dik üçgen, ikizkenar üçgen ve eşkenar üçgen olmak üzere üçe ayrılır. İlk olarak Dik üçgen, pisagor teoremi ve öklid teoremi ile başlayalım.

Dik Üçgen

Özel üçgenler içinde yer alan Dik üçgen, bir açısı dik olan üçgenlere denir. Dik üçgende en uzun kenara hipotenüs denir. Diğer kenarlara da dik kenarlar denir.

* Dik Üçgenin Özellikleri:

Kpss geometri dersine ait dik üçgenin birçok özelliği bulunmaktadır. Bu özelliklerin içinde pisagor teoremi ve öklid teoremi de yer almaktadır. Şimdi bu özellikleri sıralayalım.

•    Pisagor Teoremi:

Bu teoreme göre hipotenüsün karesi, diğer dik kenarların karesinin toplamına eşittir. Kpss geometri sorularında genelde kullanılan bazı dik üçgen katları vardır. Bunlar;

•   Muhteşem Üçlü: Bir dik üçgende hipotenüse ait kenarortay uzunluğu hipotenüsün yarısına eşittir. Buna geometri dersinde muhteşem üçlü denir.

•   Bir ikizkenar üçgende hipotenüsün uzunluğu dik kenarın katıdır.

•   Öklid Teoremi: Bu teorem dik üçgenler içinde önemli bir yer kaplamaktadır ve birçok kpss üçgen sorusunun kısa yoldan çözülmesine olanak sağlamaktadır. Öklid teoremi uygulanabilmesi için dik bir üçgende hipotenüse ayrı bir dik (h) inmesi gerekmektedir. Öklid teoremi ile ilgili formüller aşağıda listelenmiştir.

•   90-60-30 Üçgeni: Bir dik üçgende dar açılardan biri 30 ise, 30 derecelik açının karşısındaki kenar hipotenüsün yarısında eşittir. 60 derecelik açının karşısındaki kenarın uzunluğu da 30 derecelik açı karşısındaki kenarın katına eşittir.

•   Bir dik üçgende dar açılardan birinin ölçüsü 15 derece ise, hipotenüs uzunluğu hipotenüse ait yüksekliğin 4 katıdır.

•   P ve K üçgenin içinde herhangi iki nokta olmak üzere;

Özel üçgenler içinde yer alan dik üçgen ile ilgili özellikler tamamlanmıştır. Şimdi özel üçgenler içinde yer alan ikizkenar üçgen konusuna bakalım.

İkizkenar Üçgen

Özel üçgenler içinde, iki kenarı eşit olan üçgenlere ikizkenar üçgen denmektedir.  Yandaki ikizkenar üçgene göre;

A: Tepe noktası

a: Taban uzunluğu

m(A): Tepe açısı olarak adlandırılmaktadır.

• Eşit kenarların karşısındaki açılar eşittir.

• İkizkenar üçgende tabana ait yükseklik, kenarortay ve açıortay uzunlukları eşittir.

Bir ABC ikizkenar üçgeninde;

 Eşkenar Üçgen

Özel üçgenler içinde yer alan eşkenar üçgen tüm kenar uzunlukları eşit olan üçgendir.

• Eşkenar üçgende bütün yükseklik, kenarortay ve açıortay uzunlukları eşittir.

• Bir eşkenar üçgenin iç bölgesinde herhangi bir yerinden alınan bir noktadan, kenarlara inilen dikmelerin toplamı yüksekliğine eşittir.

• Kpss genel yetenek geometri dersi özel üçgenler içinde yer alan bir eşkenar ğçgenin içinde alınan herhangi bir P noktasından kenarlara çizilen paralellerin uzunlukları toplamı eşkenar üçgenin bir kenarının uzunluğuna eşittir.

• Bir eşkenar üçgende ağırlık merkezi, çevrel ve içteğet çemberinin merkezi aynı noktatadır. Bu nokta aynı zamanda yüksekliklerin ve iç açıortayların da kesim noktasıdır.

h=3r

R=2r

Kpss genel yetenek geometri dersine ait özel üçgenler ; dik üçgen, ikizkenar üçgen ve eşkenar üçgen konuları tamamlanmıştır. Bir sonraki kpss geometri dersinin konusuÜçgenin Alanı olacaktır.

Bu yazı Özel Üçgenler : Dik üçgen – İkizkenar Üçgen – Eşkenar Üçgen ilk olarak şurada görüldü: .

Açı kenar bağıntıları ile ilgili Kpss son 12 yılda 5 soru çıkarmıştır. Yıllara göre soru çıkma oranı fazla olmasa da geometri sorularının kpss puan hesaplamasında belirleyici rol oynadığını bildiğimiz için üçgende açı kenar bağıntıları konusunu iyi anlamamız gerekmektedir.

Üçgende Açı Kenar Bağıntıları

• Bir üçgende herhangi bir kenarın uzunluğu , diğer iki kenarın toplamından küçük, farkının mutlak değerinden ise büyüktür. Aşağıda bu açı kenar bağıntıları ile ilgili formül yer almaktadır.

Daha iyi anlamamız açısından bir örnek verelim.

Örnek: Yukarıdaki ABC üçgenine göre |AB|=4, |AC|=8 ise |BC| uzunluğunun alabileceği değerleri nelerdir?

• Bir üçgende büyük açı karşısında büyük kenar, küçük açı karşısında küçük kenar bulunur.
• 
  sonucu çıkmaktadır.

• Kpss geometri üçgende açı kenar bağıntıları konusunda bir diğer önemli nokta da geniş açı ve dar açı şartlarıdır.

olmak üzere;

olmak üzere;

olmak üzere;

• Geometri dersinin bu konusunda bir diğer özellik de çeşitkenar üçgenle ilgilidir. Çeşitkenar bir ABC üçgeninde A köşesinden çizilen yükselik, açıortay ve kenarortay arasında bir bağıntı oluşmaktadır. Bu bağıntı şu şekildedir:

•  Bir üçgenin iç açıları arasındaki sıralama ile yardımcı elemanları arasındaki sıralama terstir.

olmak üzere;

Şimdi de kpss geometri dersinin üçgende açı kenar bağıntıları konusu ile ilgili birkaç örnek çözelim.

Örnek: ABCD bir dörtgen olmak üzere;

|AB|=12, |AC|=8, |BD|=6, |DC|=9 olduğuna göre |BC|= x’in alabileceği tam sayı değerleri kaç tanedir?

Örnek: ABC bir üçgen, |AC|=7, |CB|=24 olmak üzere;

Yandaki şekilde C açısı geniş açı olduğuna göre |AB|=x’in alabileceği en küçük tam sayı değeri kaçtır?

Bir sonraki genel yetenek geometri dersinin konusu özel üçgenler olacaktır.

Bu yazı Üçgende Açı Kenar Bağıntıları ilk olarak şurada görüldü: .

Üçgende açı konusuna geçmeden önce Kpss geometri konusu içinde sık sık karşılaşacağımız üçgen terimini inceleyelim. Üçgen doğrusal olmayan farklı üç tane noktayı birleştiren doğru parçalarının birleşimine denir.

  ABC üçgeni bu şekilde tanımlanmaktadır.

Üçgende Açı

Bir üçgende iç açıların toplamı 180° dir. Dış açıların toplamı ise 360° dir.

Üçgende açı konusunda dikkat etmemiz gereken ve forumulize edilmiş birkaç önemli nokta vardır. Şimdi üçgende açı konusunda yer alan bu detayları teker teker inceleyelim.

* Bir üçgende bir dış açının ölçüsü kendisine komşu olmayan iki iç açının ölçüleri toplamına eşittir.

* Bir ABC üçgeninde [BD] ve [CD] iç açıortay, D iç nokta ise;

* Üçgende açı konusunda bir ABC üçgeninde [BF] ve [CF] dış açıortay ise;

 * Bir üçgende şekildeki gibi [AH] yükseklik ise ve [AE] BAC açısının açıortayı ise;

  * Bir ABC üçgeninde [BP] iç açıortay, [PC] dış ortay ise;

* Üçgende açı konusunda yandaki şekil gibi konkav bir üçgen çıktığında açı formulü şu şekilde olmaktadır;

Kpss genel yetenek ve kpss geometri konuları dahilinde üçgende açı ile ilgili önemli noktalar yukarıda verilmiştir. Şimdi açıortay konusunu inceleyelim.

Açıortay

Bir üçgende açı kollarına uzaklıkları eşit olan noktaların geometrik yerine açıortay denir. Kpss geometri konuları içerisinde açıortaydan çok fazla soru sormamaktadır. Ancak bu, konuyu bilmememiz gerektiği anlamına gelmez. Çünkü her sene değişik yerden soru sormakta olan Kpss lisans sınavı ters köşe etmeyi çok sevmektedir. Bu yüzden dikkat ederek açıortay konusuna devam edelim.

* Bir üçgende iç açıortaylar bir noktada kesişirlerse , bu nokta üçgenin iç teğet çember merkezini oluşturur ve genelde I ile gösterilmektedir.

* Bir üçgende iki dış açıortay ile üçüncü iç açıortay bir noktada kesişmektedir.

* İç Açıortay Teoremi: [AN] açıortay doğrusu olmak üzere;

* Dış Açıortay Teoremi: [AN] dış açıortay doğrusu olmak üzere;

* İç Açıortay Uzunluğu: [AN] iç açıortay doğrusu olmak üzere;

* Dış Açıortay Uzunluğu: [AN] dış açıortay doğrusu olmak üzere;

* İç Açıortay ve Dış Açıortay Birlikte: [AN] iç açıortay doğrusu, [AK] dış açıortay doğrusu olmak üzere;

Kenarortay

* Bir üçgenin kenarortayları tek bir noktada kesişirse bu noktaya ağırlık merkezi denir ve G ile gösterilir. Kenarortaylar birbirlerini kenarlarına doğru 1, köşeye doğru 2 oranında bölmektedirler.

* Kenarortay Teoremi: [AD] uzunluğu kenar ortay olmak üzere;

formülleri oluşmaktadır. Bu formüllerden şu sonuç çıkmaktadır:

* Bir ABC üçgeninde G ağırlık merkezi ve [AD] uzunluğu kenarortay olmak üzere;

* Bir ABC üçgeninde G ağırlık merkezi ve A açısı 90 derece olmak üzere;

* Bir ABC üçgeninde G ağırlık merkezi ve G açısı 90 derece olmak üzere;

Üçgende Kesenler

1) Menelaus Teoremi:

2) Seva Teoremi:

3) Stewart Teoremi:

4) Carnot Teoremi:

Bu yazı Üçgende Açı – Açıortay – Kenarortay ilk olarak şurada görüldü: .